Первый раз Бабакову разрешили въехать в страну для лечения с 19 по 30 июня 2019 года, следует из распоряжения Госсекретариата по делам миграции страны. Второй раз — в 2021 году — с целью планового обследования. Оба разрешения он получил, когда был сенатором. Во взломанной переписке также есть разрешение на въезд в обход действующих на тот момент ковидных ограничений (это можно сделать по веским медицинским причинам). Из документов швейцарских властей неясно, о каком лечении идет речь. Неизвестно также, воспользовался ли Бабаков разрешением. Как отмечает «Агентство» 26 июня 2019 года он выступал в Совфеде — это говорит о том, что, если его первая поездка в Швейцарию и состоялась, она была короче оговоренных сроков. Бабаков находится под санкциями Швейцарии с ноября 2014 года и впервые попал под ограничения как депутат, голосовавший за присоединение Крыма. Депутат отказался говорить с «Агентством». В Госсекретариате по делам миграции Швейцарии ответили изданию, что иногда возможны исключения из санкций по дипломатическим или гуманитарным основаниям. Бабаков также находится под санкциями Украины. В ноябре 2022 года украинские СМИ сообщили об обысках в энергетической компании VS Energy. В числе экс-владельцев компании «Страна» называла российских бизнесменов Евгения Гинера, Михаила Воеводина и Александра Бабакова. В самой VS Energy утверждали, что «Гинер перестал быть акционером группы в 2014 году» а Бабаков и Воеводин «никогда не владели акциями группы VS Energy». Весной 2022 года США предъявили Бабакову и двум его помощникам обвинения в «сговоре для работы в Соединенных Штатах в качестве незарегистрированных агентов России, нарушения санкций и мошенничества с визами». В сентябре 2022 года The Washington Post, The New York Times и другие западные СМИ упоминали Бабакова как одного из предполагаемых участников схемы финансирования Россией политиков за рубежом для усилинения своего влияния. Публикации газет основаны на информации источников в разведке.
